L’analyse harmonique trouve son origine dans les travaux du mathématicien Joseph Fourier, au début du XIXe siècle, portant sur l’équation de la chaleur. Théorie sans cesse généralisée, l’analyse harmonique est devenue un outil mathématique très puissant au service de nombreux domaines de la science.
L’intuition de décomposer selon les fréquences propres (ce que l’on appelle les harmoniques) était déjà en germe avant les travaux de Fourier, mais c’est lui qui a explicité cette décomposition et l’a systématisée.
L’ÉQUATION DE LA CHALEUR
Au début du xixe siècle, le mathématicien Joseph Fourier s’intéresse au phénomène de propagation de la chaleur. Il cherche à le comprendre en tentant d’en fournir une modélisation puis une analyse la plus précise possible. Cette question avait déjà été abordée par les physiciens et les mathématiciens dès le xvme siècle. En effet, ces derniers s’étaient penchés sur l’expression des solutions des premières équations aux dérivées partielles établies à cette époque, comme celle des cordes vibrantes ou celle de la chaleur. L’intuition de décomposer selon les fréquences propres (ce que l’on appelle les harmoniques) était déjà en germe, mais ce sont les travaux de Fourier qui permettront d’expliciter cette décomposition et de la systématiser. Fourier s’appuie sur une démarche scientifique très courante en sciences, la démarche de l’analyse/synthèse. D’un côté, l’analyse a pour objectif de dissoudre la complexité en constituants simples, la synthèse, de son côté, effectue l’opération inverse.
SÉRIE DE FOURIER
Une série de Fourier est un outil particulièrement efficace pour l’étude des fonctions périodiques. Le résultat essentiel de Fourier est qu’il est possible de décrire toute fonction périodique assez régulière comme la somme de fonctions élémentaires périodiques, le sinus et le cosinus. Pour ce faire, on calcule ce que l’on appelle les coefficients de Fourier de la fonction périodique. Ce sont des intégrales faisant intervenir la fonction à décrire et les fonctions sinus et cosinus. Puis, on effectue la synthèse en écrivant en série de Fourier la fonction, c’est-à-dire une somme sur l’ensemble des entiers relatifs des coefficients de Fourier. Un théorème fondamental, énoncé par Dirichlet, permet d’affirmer qu’une fonction périodique assez régulière est égale à son développement en série de Fourier en tout point de continuité de la fonction. Cette décomposition en série permet de simplifier considérablement de nombreux problèmes de mécanique, de traitement du signal ou d’acoustique.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
Il est naturel de vouloir utiliser l’analyse harmonique pour des fonctions non périodiques, c’est-à-dire de généraliser le procédé utilisé par Fourier à une classe de fonctions plus vaste. Il est possible de le faire pour les fonctions de carré intégrable. On utilise alors le concept de transformée de Fourier. Si une fonction périodique peut être représentée par des coefficients traduisant le degré de contribution des harmoniques, il est possible de faire de même avec des fonctions de carré intégrable que l’on considère comme des fonctions périodiques dont la période tend vers l’infini. La suite des coefficients de Fourier va alors laisser la place à une fonction appelée transformée de Fourier de la fonction. Et la série de Fourier explicitant la superposition des harmoniques composant la fonction va laisser la place à une intégrale sur l’ensemble des fréquences réelles. La théorie des distributions permettra d’élargir encore le champ d’application de la transformation de Fourier.
TRANSFORMÉE DE LAPLACE
La transformation de Laplace, partie importante de l’analyse harmonique, intervient dans la résolution d’équations et de systèmes différentiels, notamment en électricité, en théorie du signal ou encore dans l’étude des systèmes dynamiques. Elle s’applique à ce que l’on appelle les fonctions causales, c’est-à-dire des fonctions nulles pour les valeurs négatives de la variable. C’est cette notion de causalité qui en fait un outil très efficace. Si la transformation de Laplace constitue bien une généralisation de la transformation de Fourier, elle s’utilise dans le cas où l’on s’intéresse aux équations différentielles associées à des conditions initiales (alors que ce sont plutôt les conditions limites qui entrent en jeu avec celle de Fourier), équations que l’on peut résoudre simplement en inversant la transformée de Laplace. Mathématiquement, la transformée de Laplace est le calcul d’une intégrale (lorsqu’elle existe) faisant intervenir la fonction initiale et une exponentielle.
ANALYSE HARMONIQUE ABSTRAITE
Une des plus récentes généralisations de la transformation de Fourier et de l’analyse harmonique s’est faite, non plus en élargissant la classe de fonctions à décomposer, mais autour de l’espace d’où part la fonction. L’analyse de Fourier classique a pour objet les fonctions de variables réels ou complexes. L’analyse harmonique abstraite s’intéresse aux fonctions de variables vivant dans un groupe topologique. Un groupe topologique est un groupe muni d’une topologie compatible avec la structure de groupe. L’outil essentiel ici est un résultat appelé dualité de Pontryagin. Elle permet d’étendre les résultats de la transformation de Fourier dans le cas réel ou complexe à des groupes topologiques particuliers (groupes abéliens localement compacts) moyennant l’utilisation d’une bonne mesure, en l’occurrence la mesure de Haar. Poursuivre la généralisation de l’analyse harmonique à des groupes ni abéliens ni compacts reste une question ouverte, seulement résolue dans des cas très particuliers.
À RETENIR
L’analyse harmonique trouve son origine dans les travaux de Fourier sur l’équation de la chaleur. Fourier chercha à simplifier la résolution de l’équation en utilisant des décompositions de fonctions périodiques selon des harmoniques. Il étendra sa découverte aux fonctions non périodiques avec la transformée de Fourier.
Il est possible de généraliser ces résultats en élargissant le champ des fonctions étudiées, avec la transformation de Laplace ou en utilisant des espaces de variables plus généraux, objet de l’analyse harmonique abstraite.