Les équations aux dérivées partielles permettent de modéliser un très grand nombre de phénomènes du monde réel. S’il est possible, dans des cas très particuliers, d’en donner des solutions explicites, les mathématiciens continuent à développer des outils pour les étudier en toute généralité.
MATHÉMATIQUES INTÉRÊT DES EDP
Les équations aux dérivées partielles constituent un outil fondamental pour la modélisation, et donc la compréhension, de très nombreux phénomènes du monde réel. Ces équations aux dérivées partielles, EDP en abrégé, permettent en effet de prendre en compte de très nombreux paramètres liés au déroulement des phénomènes et le rôle de ces paramètres. Elles permettent également de prévoir, de manière parfois extrêmement précise, la manière dont le phénomène évolue dans le temps. Cette prévision peut exister dans le cas très particulier des EDP linéaires, mais lorsque le phénomène se modélise par une EDP non linéaire, la prévision devient alors presque impossible. On retrouve cette idée avec ce que l’on appelle improprement « l’effet papillon » utilisé lors de la modélisation mathématique de la théorie du chaos. A contrario, la modélisation des vibrations de la membrane d’un tambour grâce à des EDP linéaires a pu permettre de reconstituer la forme du tambour.
EDP PARTICULIÈRES
Il existe de nombreux exemples de modélisation de phénomènes du monde réel par des équations aux dérivées partielles. Les chercheurs estiment que les premières EDP remontent au xvi Ie siècle et ont été introduites par Newton et Leibniz pour modéliser la mécanique. Ensuite, au sein de la mécanique des fluides, on rencontre les équations d’Euler ou celles de Navier-Stokes pour modéliser l’écoulement d’un fluide. On peut citer également les équations de Fourier dans l’étude de la diffusion de la chaleur, celles de Maxwell pour l’électromagnétisme, celles de Schrôdinger et Heisenberg en mécanique quantique ou encore celles d’Einstein en théorie de la relativité. Si on peut classer les équations aux dérivées partielles en trois grandes catégories (elliptique, parabolique et asymptotique), il n’en demeure pas moins que la recherche de solutions explicites a très vite été abandonnée. C’est, dans la plupart des cas, absolument impossible. Les EDP sont aujourd’hui un domaine actif de recherche.
DÉFINITION D’UNE EDP
Une équation différentielle ordinaire est une équation faisant intervenir une fonction d’une variable ainsi que ses dérivées successives. Une telle équation, qui modélise un grand nombre de phénomènes physiques, peut se résoudre explicitement. La difficulté de résolution des équations aux dérivées partielles provient du fait que l’on travaille cette fois avec des fonctions de plusieurs variables. Une équation aux dérivées partielles est une relation entre les variables, la fonction et ses dérivées partielles. Considérons une fonction à deux variables x et y (il sera naturellement possible de généraliser à n variables). Calculer une dérivée partielle de cette fonction revient à calculer la dérivée des deux applications partielles de cette fonction, applications obtenues en figeant l’une des deux variables. On obtient ainsi deux dérivées partielles, l’une selon la direction x et l’autre selon y. L’ordre de l’EDP sera alors le plus grand ordre de dérivation qui apparaîtra dans l’équation.
EDP LINÉAIRE
S’il est pratiquement impossible d’exhiber des solutions explicites des EDP dans le cas général, il est toutefois possible de le faire pour certaines EDP linéaires. On dit qu’une EDP est linéaire si elle ne fait intervenir que des combinaisons linéaires des dérivées partielles. Pour ce type d’EDP, que les mathématiciens considèrent comme « gentilles », il est parfois possible d’expliciter les solutions, notamment lorsqu’elle est en plus homogène (la fonction nulle est une solution). En effet, les EDP linéaires homogènes ont une propriété particulière, communément appelée « principe de superposition » : toute combinaison linéaire de solutions est encore une solution. Ce n’est malheureusement pas toujours le cas. On dit qu’une EDP est quasi linéaire si elle est linéaire par rapport aux dérivées partielles d’ordre le plus élevé. Enfin, on dira que l’EDP est non linéaire si elle n’est pas linéaire en au moins une dérivée. On pourra, dans ce dernier cas, étudier le comportement des solutions.
PROBLÈME BIEN POSÉ
Dans le cas d’une équation aux dérivées partielles générale, la description de son ensemble de solutions peut être particulièrement difficile à décrire. Toutefois, lorsque les EDP proviennent de la modélisation d’un phénomène du monde réel, certaines solutions sont plus intéressantes que d’autres, car elles satisfont à certaines conditions supplémentaires. Par exemple, il peut exister des conditions de bord, c’est-à-dire que l’on sait ce qu’il se passe au bord du domaine d’étude. On peut aussi avoir des contraintes de régularité sur le type de solution que l’on cherche, avoir des indications sur les conditions initiales ou sur le comportement à l’infini ou encore avoir des conditions de stationnarité. Il est alors possible que l’EDP avec les conditions physiques admette une solution unique. Si, de plus, la solution ne varie pas beaucoup lorsqu’une petite erreur est introduite dans les données physiques, on parlera de « problème bien posé », situation où l’on peut résoudre une EDP.
À RETENIR
Les équations aux dérivées partielles (EDP) constituent un outil précieux pour modéliser, et donc pour comprendre, de très nombreux phénomènes du monde réel. Ces équations sont des relations entre des variables, une fonction et les dérivées partielles de cette fonction. Si on ne peut pas les résoudre dans le cas général (on peut par contre en étudier le comportement), certains cas particuliers permettent d’en donner des solutions explicites: les équations linéaires homogènes ou les EDP dans le cas de problèmes bien posés.
