Les processus stochastiques font partie de la théorie des probabilités. L’idée est de faire intervenir le temps (ou une autre variable d’évolution) et d’étudier l’évolution d’une variable aléatoire. Le grand nombre d’applications possibles et les méthodes mises enjeu en ont fait une théorie à part entière.
L’étude des processus stochastiques est une branche de la théorie des probabilités qui intègre la notion de temps.
MATHÉMATIQUES UNE FONCTION ALÉATOIRE
La théorie des processus stochastiques est une branche de la théorie des probabilités. « Processus » signifie « fonction », et « stochastique » désigne l’aléatoire. L’idée des processus stochastiques est de faire intervenir le temps dans la théorie des probabilités. Ainsi, on sait qu’une variable aléatoire est une application qui associe à chaque événement élémentaire d’un univers une réalisation de cet événement. En introduisant le temps, on définit un processus stochastique comme une famille de variables aléatoires indexées par le temps. Un processus stochastique associe donc, à chaque événement élémentaire d’un univers, une fonction (appelée une « trajectoire ») dans l’espace d’arrivée des variables aléatoires. Intuitivement, passer des variables aléatoires aux processus stochastiques revient à passer, en analyse, des points aux fonctions. Par exemple, l’écoulement fluvial dans une section fixée d’une rivière ou les problèmes de files d’attente sont des processus stochastiques à temps continu.
TEMPS DISCRET, TEMPS CONTINU
Lorsque le temps appartient à un ensemble dénombrable (par exemple, l’ensemble des entiers naturels), on parle de « processus stochastiques à temps discret ». Si, en revanche, il appartient à un ensemble continu (comme l’ensemble des réels positifs), on parle alors de « processus stochastiques à temps continu ». Une catégorie importante des processus stochastiques est constituée des processus markoviens. Un processus stochastique est markovien si, conditionnellement à sa valeur présente au temps t, son évolution future est indépendante de son passé. Un exemple fondamental de processus stochastique markovien est la notion de chaîne de Markov (modèle d’évolution en temps discret dans lequel l’état passé n’a pas d’incidence sur l’évolution future de l’état présent, seul pris en compte). On les rencontre dans de nombreux domaines, et ils sont apparus avant même les travaux de Markov (vers 1906). Ainsi, dès 1889, Galton les introduit pour étudier le problème de la disparition des noms de famille.
LA MARTINGALE
La martingale est un exemple très intéressant de processus stochastique. Elle est naturellement utilisée en théorie des probabilités mais aussi pour la résolution numérique des équations aux dérivées partielles, en assurance (théorie de la ruine) ou encore en finance. Une martingale est un processus stochastique qui ne possède pas de partie prévisible relativement à l’information dont on dispose. Plus précisément, c’est un processus intégrable tel que la meilleure prédiction pour une valeur future, sachant les valeurs passées et la valeur présente, est la valeur actuelle. Il est important de noter qu’un processus est défini comme martingale par rapport à un ensemble d’informations et à une probabilité donnés. Si l’on modifie l’un ou l’autre, il est possible que le processus ne soit plus une martingale. Cette notion semble provenir assez directement de l’idée de stratégie pour un jeu de hasard, et notamment de l’idée intuitive qu’une stratégie toujours gagnante pour un jeu défavorable n’existe pas.
DÉFINIR LE MOBILE ET LE MILIEU
Une marche aléatoire est un processus stochastique assez simple à définir. On distingue les marches aléatoires symétriques, si elles sont à temps discret, des mouvements browniens dans le cas continu. Physiquement, une marche aléatoire correspond au déplacement aléatoire d’un mobile dans un certain milieu, par exemple un grain de pollen dans une goutte d’eau. À un instant donné, le mobile a une certaine probabilité de se déplacer dans chaque direction, et on s’intéresse aux propriétés de son mouvement global. Le mathématicien, lui, va construire sa marche aléatoire de la manière suivante: il choisit un cadre général, un graphe qui représente l’espace dans lequel le mobile va évoluer. Ensuite, il va définir un milieu en donnant, pour chaque sommet du graphe, une certaine loi définissant la probabilité de passer sur chacun des sommets qui lui sont connectés (ce milieu obéit à une certaine distribution aléatoire). Le mobile va ainsi évoluer dans le milieu fixé selon une chaîne de Markov.
LE MODÈLE D’EHRENFEST
Pour bien comprendre ce qu’est un processus stochastique, prenons un exemple: le modèle de diffusion d’Ehrenfest. Il part d’un constat qui peut sembler paradoxal: en thermodynamique des particules, un système tend toujours de manière irréversible vers un état d’équilibre. Les physiciens Paul et Tatiana Ehrenfest ont proposé un modèle d’urne très simple. Le modèle physique est le suivant: une enceinte confinée séparée en deux compartiments et contenant N particules qui se trouvent toutes dans l’un des compartiments à l’instant initial. Elles diffusent ensuite à travers la paroi séparant les deux compartiments de manière à se répartir entre les deux. Ainsi, le modèle d’urne consiste en deux urnes contenant N boules, toutes dans l’une des urnes à l’instant initial. On tire une boule à chaque unité de temps et on la change d’urne. Les Ehrenfest ont alors montré que, dans le cas où les boules sont discernables, ce modèle suit une marche aléatoire simple sur l’espace des états.
À RETENIR
L’étude des processus stochastiques est une branche de la théorie des probabilités. Ces processus intègrent la notion de temps (ou d’une autre variable d’évolution) et fournissent des modèles pour étudier des phénomènes aléatoires qui évoluent dans le temps. Les chaînes de Markov, les martingales ou les marches aléatoires en sont des exemples importants, lis ont tant d’applications (et ce dans un grand nombre de domaines) qu’ils font désormais l’objet d’une théorie à part entière.
