La logique, ou l’art de raisonner, existe depuis que les hommes pensent. Lorsque les mathématiques s’en saisissent, elles la dotent d’un langage formel et d’outils qui ont pour objectif de pouvoir attribuer une valeur de vérité (soit vrai, soit faux) à tous les énoncés possibles.

L’ART DE RAISONNER

La logique, dans sa plus grande généralité, est l’art de raisonner. Cet art remonte à la nuit des temps, puisqu’Aristote (384-322 av. J.-C.) en fournissait déjà les premières bases. La logique mathématique, quant à elle, consiste toujours en l’art de raisonner, mais en se dotant d’un langage formel et de règles afin de pouvoir attribuer à des énoncés une valeur de vérité. En effet, en logique mathématique classique, un énoncé est soit vrai, soit faux : il n’y a pas d’autre valeur possible. C’est ce que l’on appelle le principe du tiers exclu ». Le rejet de ce principe aboutira, sous l’impulsion de Jan Brouwer, à ce que l’on appelle la « logique intuitionniste ». On ne s’y intéressera pas ici. Si Aristote teintait sa logique de philosophie, Gottlob Frege (1848-1925) utilisera une approche purement mathématique et sera le premier à introduire un langage symbolique : l’idéographie. Il pose ainsi les bases de la logique moderne en développant le calcul propositionnel et le calcul des prédicats.

ALPHABET ET SYNTAXE

Si l’idéographie de Frege n’est plus utilisée aujourd’hui, l’idée du langage formel est toujours là, et certains symboles créés par Frege ont été conservés. Un langage formel sera défini par deux éléments principaux : un alphabet (un ensemble de symboles) et une syntaxe (des règles qui définissent quels mots appartiennent au langage formel, un mot étant une suite ordonnée de symboles).
La syntaxe d’un langage permet de définir si un mot est « correct » dans le langage (mots acceptés par le langage). La sémantique d’un langage, de son côté, est une relation entre les formules acceptées par le langage et leur signification. Au sein de ce langage formel, une formule peut être vraie ou fausse. Mais la vérité n’est pas absolue, elle peut dépendre du monde dans lequel on est. C’est pourquoi on définit en général un ensemble d’univers (ou de mondes) possibles, dans chacun desquels la sémantique nous dira si une formule est vraie ou non. C’est ce que l’on appelle l’« interprétation de la formule ».

LE CALCUL PROPOSITIONNEL

Le calcul propositionnel étudie les relations entre des énoncés que l’on appelle des « propositions », exprimées dans le langage formel. On introduit ici la notion de connecteurs logiques (« non », « et », « ou », « si… alors », « est équivalent à »), ainsi que de parenthèses. Les propositions simples seront alors des formules atomiques, alors que celles qui utilisent ces connecteurs logiques et les parenthèses seront des formules composées. Dans le calcul propositionnel, s’intéresser à la syntaxe, c’est considérer les formules qui sont bien écrites, alors que s’intéresser à la sémantique, c’est déterminer la valeur de vérité d’un énoncé, c’est-à-dire d’une formule atomique ou composée. La sémantique du calcul propositionnel utilise, afin de déterminer la valeur de vérité d’un énoncé, des tables de vérités. C’est en fait un tableau qui affecte les valeurs vrai/faux à toutes les variables propositionnelles de l’énoncé et qui fournit la valeur de vérité de cet énoncé pour chaque configuration.

TABLE DE VÉRITÉS ET PRÉDICAT

La logique propositionnelle ne permet de décrire que des constructions simples du langage, relativement peu expressives. Afin de pouvoir étudier les valeurs de vérité de formules plus compliquées, il est nécessaire de se doter d’outils plus fins. C’est ce que permet la logique des prédicats. En effet, elle introduit, en plus des formules atomiques, de nouvelles formules logiques : les prédicats. C’est une formule logique qui dépend d’une variable libre (qui peut prendre plusieurs valeurs). Ces variables libres ne sont pas des formules, car elles n’ont pas de valeur de vérité. On parlera alors de « termes ». Tout comme en logique propositionnelle, on s’intéresse à la validité des relations existant entre les objets. La différence est que, pour écrire un énoncé en logique des prédicats, on utilise un ensemble de symboles plus riche qu’en logique propositionnelle : il faut se donner des constantes, des variables, des fonctions, des prédicats, des connecteurs et des quantificateurs universels.

LA TAUTOLOGIE

La logique mathématique est l’un des outils les plus efficaces pour effectuer des démonstrations, c’est-à-dire mettre en place un raisonnement logique afin de démontrer qu’un résultat est vrai ou non. On peut citer par exemple le raisonnement par hypothèse auxiliaire. Le but est de montrer qu’un énoncé Q est vrai. Le principe s’appuie sur une tautologie (une formule qui est toujours vraie, quelle que soit la valeur de vérité des formules atomiques qui la composent) : si l’énoncé P est vrai et si l’implication « P = Q » est vraie, alors l’énoncé Q est nécessairement vrai. La méthode est alors simple : on montre que l’énoncé P est vrai. L’énoncé Q sera alors vrai, puisque « P = Q » est vrai.
Un autre type de raisonnement couramment utilisé en mathématiques est le raisonnement par l’absurde. Le but est de montrer qu’un énoncé P est vrai. Ce raisonnement consiste à montrer que non (P) entraîne un énoncé Q et son contraire non(Q). On obtient ainsi une contradiction, et P est alors vrai.

EN RÉSUMÉ

La logique est l’art de raisonner.
Si elle existe depuis Aristote, c’est Frege qui, en s’appuyant sur une approche mathématique, a créé la logique moderne, l’utilisation d’un langage formel, le calcul propositionnel et le calcul des prédicats. En logique, la syntaxe s’intéresse à reconnaître les énoncés bien écrits, alors que la sémantique s’occupe de la signification de ces énoncés, et notamment de leur valeur de vérité. La logique est indispensable, notamment dans la théorie de la démonstration.