Géométrie euclidienne

La géométrie euclidienne a été construite par le mathématicien grec Euclide, quelques siècles avant J.-C. Si elle est encore utilisée aujourd’hui, les questions concernant son cinquième postulat ont abouti à la découverte de nouvelles géométries, telles que les géométries projective ou elliptique.

LA MESURE DE LA TERRE

Étymologiquement, la géométrie est la science de la mesure de la Terre, du grec gé qui signifie « terre » et metron qui peut se traduire par « mesure ». Elle étudie les formes et les propriétés des corps naturels, c’est-à-dire de tous les objets que nous pouvons trouver dans la nature. Cependant, la géométrie euclidienne n’est pas une science expérimentale au sens où il ne s’agit pas d’étudier les objets réels mais d’en fournir une représentation théorique la plus proche possible de la nature. La géométrie euclidienne est parfois appelée géométrie plane, car elle étudie essentiellement les objets du plan. C’est le mathématicien grec Euclide, au 111e siècle avant J.-C., qui en fournira la première théorie, intitulée Les éléments d’Euclide (d’où le nom de géométrie euclidienne). Une théorie si aboutie que nous l’utilisons encore aujourd’hui pour traiter les problèmes dans des configurations planes, voire en géométrie dans l’espace lorsque l’on considère ce dernier comme non courbe.

LES OBJETS NATURELS

Avant d’énoncer les grands principes de la géométrie euclidienne, il est nécessaire d’en définir les objets. Euclide commence ainsi par ce qu’il considère comme les objets naturels de sa géométrie. Ainsi, le point sera défini comme l’objet dont la partie est nulle. Aucun objet physique, dans le monde réel, ne peut être de partie nulle. Cette définition est donc une modélisation purement mathématique. Ensuite, Euclide définit la ligne comme un objet fini, une longueur sans largeur dont les extrémités sont des points. Une ligne est ce que l’on appelle aujourd’hui un segment. Une droite est, quant à elle, une ligne qui est également placée entre ses points. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur. Une surface limite un volume. On remarque que la notion de volume est la seule notion expérimentale, dans le sens où un volume est une partie de l’espace à trois dimensions qui existe dans le monde réel. Un point ou une droite au sens d’Euclide sont des créations intellectuelles.

LES QUATRE PREMIERS POSTULATS

Euclide poursuit ses définitions avec la notion de plan, de droites parallèles, de droites perpendiculaires, etc. Une fois définis les objets naturels de la géométrie, il peut énoncer les cinq grands principes qui constituent le socle de ses éléments. Si les quatre premiers principes sont devenus des axiomes (des principes considérés comme vrais, qu’il n’est pas besoin de démontrer), le cinquième a connu une tout autre histoire. Le premier principe (ou postulat) d’Euclide affirme que par deux points distincts A et B, il ne passe qu’une, et une seule, droite. Le deuxième postulat stipule, dans sa forme moderne, que tout segment AB est prolongeable en une droite passant par A et B. D’après le premier principe, elle est unique au sein de la géométrie euclidienne. Le troisième postulat affirme quant à lui que pourtous points A et B distincts, nous pouvons décrire un cercle de centre A et passant par B. Enfin, le quatrième postulat pose que tous les angles droits sont égaux entre eux.

LE CINQUIÈME POSTULAT D’EUCLIDE

Sous sa forme moderne, le cinquième postulat d’Euclide énonce que si l’on considère une droite et un point n’appartenant pas à cette droite, alors il existe une unique droite passant par ce point et parallèle à la droite initiale. S’il a été considéré pendant des siècles comme un postulat, de nombreux mathématiciens cherchèrent à montrer qu’il pouvait être démontré à partir des quatre premiers axiomes, ce qui lui conférerait alors le rôle d’un théorème. Ces recherches furent vaines mais aboutirent à la découverte de ce que l’on appelle aujourd’hui les géométries non euclidiennes. La géométrie projective est obtenue en remplaçant le cinquième postulat par l’affirmation que deux droites se coupent à l’infini, la géométrie elliptique s’obtient elle en le remplaçant par l’impossibilité de tracer cette parallèle (c’est la géométrie de la sphère par exemple) et la géométrie hyperbolique en posant que l’on peut tracer une infinité de parallèles passant par un point extérieur à une droite.

LES DEUX THEOREMES FONDAMENTAUX

Au sein de la géométrie euclidienne, en considérant donc construction à partir des cinq postulats non contradictoire, deux théorèmes sont apparus comme fondamentaux. D’un côté, on trouve le théorème de Pythagore. Il énonce que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit. Dans le cas particulier où trois nombres entiers satisfont au théorème de Pythagore, on parlera alors de triplet pythagoricien. De l’autre côté, nous avons le théorème de Thalès. Il peut s’énoncer de différentes manières. La plus ancienne, démontrée dans les Éléments d’Euclide, affirme que si deux triangles ont un côté commun et si les troisièmes sommets sont sur une parallèle à ce côté commun, alors ils ont même surface. Sa version la plus connue, celle que l’on apprend à l’école, est le théorème de Thalès des rapports. Il énonce des égalités de rapports de longueurs lorsque l’on coupe deux côtés d’un triangle par une parallèle au troisième côté.

EN RÉSUMÉ

La géométrie euclidienne, construite par le mathématicien grec Euclide quelques siècles avant J.-C., est basée sur la définition des objets naturels et sur l’énoncé de cinq postulats, à partir desquels de très nombreuses propositions sont démontrées. Les théorèmes de Pythagore et de Thalès en sont les plus fondamentaux. De nombreux mathématiciens cherchèrent à montrer que le cinquième postulat d’Euclide pouvait se démontrer à partir des quatre premiers. En vain. Cependant, ces travaux amenèrent à la découverte de nouvelles géométries.

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