C’est en étudiant un problème lié à la reproduction des lapins que Léonard de Pise, dit Fibonacci, formalise la suite qui porte désormais son nom. Sa très grande richesse mathématique interne, ainsi que ses nombreux liens avec d’autres domaines mathématiques, en ont fait un curieux objet d’étude.

LA SUITE DE FIBONACCI

On doit la découverte de la suite de Fibonacci à Léonard de Pise, dit Leonardo Fibonacci. On lui doit également l’introduction en Orient de la notation numérique indo-arabe et la traduction de nombreux ouvrages. En 1202, dans son ouvrage Liber abaci, il se pose un petit problème quant à la prolifération des lapins : « Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence? » La réponse qu’il donne est connue aujourd’hui sous le nom de suite de Fibonacci. Elle peut être donc considérée comme le premier modèle (avec des hypothèses très restrictives) de dynamique des populations. On la note usuellement (FJ. Les deux premiers termes de cette suite valent 1 et le n-ième terme est obtenu en additionnant les deux termes précédents. Les premiers termes de cette suite sont donc 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55.

ECRITURE MATHÉMATIQUE

Pour écrire mathématiquement cette suite, il faut se fixer une convention. Soit on considère que le cas n = 0 ne fait pas partie de la suite et on le fixe arbitrairement à Fo = 0, soit on considère que ce cas fait partie intégrante de la suite, en lui affectant la valeur 0 puisqu’il n’y a pas de lapin au temps 0 (le temps 0 n’ayant pas beaucoup de sens). Dans les deux cas, elle s’écrit Fo = 0, F1 = 1 et, pour tout n > 2, Fn = Fn 2 + FnJ. Mais certains auteurs préfèrent ne pas inclure le cas n = 0 dans la définition de la suite, le fixant par convention à zéro, et commençant à définir la suite à partir du rang n = 1. Dans ce cas, les deux premiers termes valent 1 (F1 = F2 = 1) et chaque terme suivant, à partir du rang 3, est obtenu en additionnant les deux termes précédents. Les nombres F , y compris le nombre Fo, s’appellent les nombres de Fibonacci. En étudiant la suite de Fibonacci, les mathématiciens découvrirent des liens surprenants avec d’autres objets mathématiques.

LE NOMBRE D’OR

On peut dans un premier temps s’intéresser aux propriétés des nombres de Fibonacci eux-mêmes. Par exemple, on a montré que, dans la suite de Fibonacci, les nombres premiers correspondent à un rang premier, ou que le nombre 55 est le plus grand nombre de Fibonacci qui soit triangulaire. Mais ce qui présente plus d’intérêt mathématique consiste à s’intéresser à leurs liens avec d’autres domaines ou d’autres nombres. Par exemple, avec le nombre d’or. Ce nombre, à l’histoire passionnante, traverse les mathématiques et se note usuellement <|). Il vaut exactement (1+J5/2) et sa valeur approchée est 1,6180339887. Pour cela, on regarde le quotient de deux nombres de Fibonacci successifs, c’est-à-dire Fn+,/Fn. On peut alors montrer que ces quotients se rapprochent de plus en plus du nombre d’or. On dit que cette suite de rapports converge vers le nombre d’or. Des résultats plus raffinés liant les nombres de Fibonacci et le nombre d’or furent également démontrés, comme la formule de Binet.

UN PEU D’ARITHMÉTIQUE

L’arithmétique est le domaine des mathématiques qui s’intéresse aux propriétés des nombres. Lorsqu’on observe l’arithmétique des nombres de Fibonacci, de nombreuses propriétés apparaissent. On observe par exemple que deux nombres de Fibonacci successifs sont premiers entre eux. Dire que deux nombres sont premiers entre eux signifie que leur P.G.C.D. est égal à 1. Ou, autrement dit, qu’ils n’ont pas de diviseur commun autre que 1. Cette propriété se montre assez simplement en utilisant un raisonnement par récurrence. On montre que cette propriété est vraie au rang 1 (c’est-à-dire pour Fo et FJ puis que, si elle est vraie au rang n, elle est alors vraie au rang n+1. Toutefois, même si certains résultats arithmétiques ont été prouvés, la suite de Fibonacci conserve encore certains mystères. Par exemple, on ne sait pas si cette suite contient une infinité de nombres premiers. On sait seulement qu’un nombre de Fibonacci est premier si son rang est premier, mais que la réciproque est fausse.

PHYLLOTAXIE

C’est dans la nature elle-même qu’un autre lien avec les nombres de Fibonacci apparaît, au sein de la phyllotaxie. Cette science a pour objet l’étude des propriétés géométriques des végétaux, comme la disposition régulière des fleurs, des feuilles ou des pétales. Ces différentes dispositions se trouvent être souvent des arrangements en spirale appelés parastiches, dont le nombre est un nombre de Fibonacci. Ce qui aurait semblé relever dans un premier temps de la pure coïncidence se révèle un lien profond entre la nature et la suite de Fibonacci. Ce qui a été montré est le fait que les nombres de Fibonacci apparaissent de manière naturelle dans le processus de croissance des végétaux. Plus précisément, la formalisation du processus d’apparition des nouvelles cellules par différenciation lors de la croissance d’un végétal, à l’aide d’algorithmes, fait apparaître les nombres de Fibonacci. C’est ce type de « surprises » qui a rendu cette suite si indispensable en mathématiques.

EN RÉSUMÉ

Léonard de Pise, au xme siècle, se pose un problème quant à la prolifération des lapins. Pour le résoudre, il formalise une suite de nombres qui deviendra la suite de Fibonacci. Ses deux premiers termes valent 1, et un terme quelconque est obtenu en additionnant les deux termes précédents. Les éléments de cette suite s’appellent les nombres de Fibonacci. Ils possèdent de nombreuses propriétés telles que leurs liens intimes avec le nombre d’or, mais ils apparaissent aussi dans d’autres domaines, comme celui de la géométrie des végétaux.