La Théorie de Galois

Au début du xixe siècle, Evariste Galois, un très jeune mathématicien, s’intéresse à la résolution des équations algébriques de degré quelconque. Sa grande idée va être d’étudier le groupe de symétrie de l’équation, ce qui va le mener à la construction de la théorie qui porte aujourd’hui son nom.

UNE HISTOIRE ROMANESQUE

La théorie de Galois est née dans l’esprit bouillonnant et brillant d’un jeune garçon de 16 ans, Evariste Galois. Ce dernier, après des études secondaires brillantes et deux échecs à l’entrée de l’école Polytechnique, passe par la case prison pour ses idées républicaines, en sort malade et meurt en duel à l’âge de 20 ans pour une « infâme coquette » dont il s’était épris peu auparavant. Une vie courte et bouleversée qui ne l’empêchera pas de produire un travail immense en algèbre. Ce travail, rejeté par Poisson, perdu par Cauchy, ignoré par Fourier, fut compilé par Galois lui-même peu avant sa mort en 1832 dans un testament mathématique qu’il confia à des amis afin que ces derniers le remettent à Gauss ou Jacobi. Ce n’est finalement qu’en 1843 que les travaux de Galois seront complétés par Liouville et transmis à l’Académie des sciences. Galois sera considéré par ses successeurs comme l’initiateur, tant sur la méthode que sur la structura tion de la pensée, des mathématiques modernes.

UNE HISTOIRE D’ÉQUATION ALGÉBRIQUE

Ce qui intéresse Galois lorsqu’il commence ses recherches, c’est la résolution des équations algébriques de degré quelconque. Une équation algébrique (ou polynomiale) est une équation de la forme anxn + anlxn_1 + … + a0 = 0, où les coefficients an sont des nombres réels. Elle est dite de degré n. On cherche l’ensemble des réels x qui vérifient cette équation. Il existe de nombreuses manières de tenter de résoudre ce type d’équation. On peut par exemple en chercher des solutions approchées à l’aide de méthodes numériques ou algorithmiques. On peut aussi utiliser des méthodes géomé¬ triques qui visent à exhiber les solutions comme intersections de courbes dans le plan. La méthode la plus courante, utilisée par les algébristes et sur laquelle s’appuiera Galois, est la méthode de résolution par radicaux. Cette méthode consiste à chercher une expression de la solution x à partir des coeffi¬ cients de l’équation initiale et qui n’utilise que les opérations élémentaires et fonctions racine-n-ièmes.

UNE HISTOIRE DE SYMÉTRIE

Depuis le xvie siècle, les algébristes savent que l’on peut résoudre par radicaux les équations algébriques de degré ns 4, grâce aux formules de Tartaglia-Cardan pour celles de degré 3 et à la méthode de Ferrari pour le degré 4. Mais un résultat célèbre du mathématicien Abel vint mettre fin à l’envie de poursuivre dans cette voie. En effet, il démontra qu’une équation algébrique de degré n25 n’est pas résoluble par radicaux. L’idée de Galois va être de contourner le problème et de s’intéresser non plus à l’équation elle-même, mais à son groupe de symétrie. Cette construction va alors lui permettre de traduire les propriétés de l’équation, telles que la résolubilité par radicaux, aux propriétés du groupe associé. Le groupe symétrique s’appuie sur la notion de permutation. Les permutations d’un ensemble fini de cardinal n sont les bijections de cet ensemble sur lui-même. Munies de la loi de composition des applications, elles forment un groupe noté Sn et appelé « groupe symétrique ».

UNE HISTOIRE DE GROUPES

Le théorème fondamental de l’algèbre affirme qu’une équation algébrique de degré n admet exactement n racines réelles ou complexes, distinctes ou non. Les mathématiciens se sont depuis longtemps aperçus du rôle central des relations symétriques des racines. Utilisant cette idée, Galois va alors établir deux résultats importants. D’une part, il démontre que l’ensemble des permutations laissant invariantes toutes les fonctions polynomiales rationnelles des racines est un sous groupe du groupe symétrique, appelé groupe de l’équation. On l’appelle aujourd’hui le groupe Galois. De plus, il établit que si l’équation n’est pas résoluble par radicaux, alors le groupe de Galois admet une cl groupes distingués (un sous-groupe est distingué dans un groupe s’il vérifie une certaine forme de stabilité). On parle aujourd’hui de groupe résoluble. Le groupe symétrique n’étant pas résoluble pour n 25, les équations algébriques de tels degrés ne sont pas résolubles par radicaux.

UNE HISTOIRE DE GROUPES

Le théorème fondamental de l’algèbre affirme qu’une équation algébrique de degré n admet exactement n racines réelles ou complexes, distinctes ou non. Les mathématiciens se sont depuis longtemps aperçus du rôle central des relations symétriques des racines. Utilisant cette idée, Galois va alors établir deux résultats importants. D’une part, il démontre que l’ensemble des permutations laissant invariantes toutes les fonctions polynomiales rationnelles des racines est un sous- groupe du groupe symétrique, appelé groupe de l’équation. On l’appelle aujourd’hui le groupe Galois. De plus, il établit que si l’équation n’est pas résoluble par radicaux, alors le groupe de Galois admet une chaîne particulière de sous- groupes distingués (un sous-groupe est distingué dans un groupe s’il vérifie une certaine forme de stabilité). On parle aujourd’hui de groupe résoluble. Le groupe symétrique n’étant pas résoluble pour n > 5, les équations algébriques de tels degrés ne sont pas résolubles par radicaux.

EN RÉSUMÉ

Évariste Galois, jeune mathématicien de moins de 20 ans, s’intéresse au début du xxe siècle à la résolution par radicaux des équations algébriques de degré quelconque. Il va contourner le problème (impossible pour des équations de degré supérieur ou égal à 5) en étudiant les groupes de symétries de ces équations. Il va donc étudier le groupe symétrique, puis le groupe de Galois d’une équation et enfin son corps de décomposition. La grande richesse structurelle de la théorie de Galois est encore aujourd’hui l’objet de nombreuses recherches.

1 réflexion au sujet de « La Théorie de Galois »

  1. Bonjour,
    je cherche à parfaire ma culture mathématique. J’aimerais donc me familiariser avec la théorie de Galois. Est-ce que quelqu’un pourrait me conseiller un livre « agréable à lire » (si cela existe) et d’un niveau accessible pour moi (agrégation interne) sur ce sujet ?

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