L’analyse de Fourier

C’est en étudiant les échanges thermiques que Fourier découvrit ce qui allait devenir l’analyse de Fourier, c’est-à-dire la représentation de signaux comme superposition de fréquences individuelles. Cette théorie, largement utilisée aujourd’hui, a connu de beaux prolongements, comme les ondelettes.

FONCTIONS SINUSOÏDES

Joseph Fourier, mathématicien et physicien, étudie au début du xixe siècle les transferts thermiques. Il cherche les fonctions mathématiques qui lui permettraient de représenter ses observations (notamment celles qui concernent le chauffage d’un anneau en un point de la périphérie et l’évolution des températures sur l’ensemble de l’anneau) et pense que les fonctions périodiques de période 2tt sont adaptées (du fait de la forme de l’anneau). Il eut donc naturellement recours aux fonctions sinusoïdes (sinus et cosinus). En fait, elles sont si bien adaptées qu’elles le conduisent à généraliser cette représentation. L’analyse de Fourier a ainsi pour objectif l’étude de la représentation (la décomposition) des signaux sous forme d’une superposition de sinusoïdes, c’est-à-dire de fréquences individuelles, la plupart des signaux physiques étant caractérisés par leur comportement en fréquence. Les sinusoïdes étant appelées les « harmoniques », cette théorie porte parfois le nom d’« analyse harmonique ».

LA NOTION DE SERIE

L’élément essentiel de l’analyse de Fourierest la notion (une somme infinie) de Fourier. La décomposition en séries de Fourier d’un signal périodique (on verra qu’il faut recourir à d’autres outils pour les signaux non périodiques) consiste en sa représentation comme une somme infinie de sinusoïdes. Si de plus la série converge rapidement, le signal peut être approché par une somme finie. Ces sinusoïdes correspondent aux différents types de variations du signal, une variation lente étant représentée par une fréquence faible, alors qu’une variation rapide l’est par une fréquence élevée. Ainsi, il est parfaitement possible d’interpréter la forme du signal à partir de sa représentation en séries de Fourier.
Une série de Fourier est construite autour des coefficients de Fourier (les coefficients intervenant dans l’écriture de la décomposition). Leur calcul peut se révéler parfois difficile, mais grâce à eux l’étude du signal peut se faire ensuite de manière relativement simple.

L’INTERVENTION DES COEFFICIENTS

Le recours à la décomposition en séries de Fourier fonctionne si le signal de départ est périodique. S’il ne l’est pas, il faut utiliser la transformée de Fourier. Elle n’est que la transposition de la notion de série de Fourier en remplaçant la série par une intégrale. Naturellement, toutes les fonctions non périodiques ne possèdent pas de transformée de Fourier, elles doivent remplir certaines conditions (les fonctions non périodiques rencontrées en physique les remplissent dans la plupart des cas).
En pratique, pour calculer effectivement les coefficients de Fourier, on a recours à un ordinateur qui travaille uniquement avec des suites finies de points, si bien que les formules théoriques de l’analyse de Fourier ne peuvent être utilisées telles quelles. On a recours à un autre outil, la transformée de Fourier discrète. Elle conserve les mêmes propriétés que la transformée de Fourier théorique, mais elle permet d’évaluer une représentation du signal échantillonné (signal discret).

LE SIGNAL ÉCHANTILLONNÉ

Une question centrale dans l’analyse de Fourier est la convergence de la série de Fourier vers la fonction ; autrement dit, il faut trouver les conditions pour que la limite de la série de Fourier soit bien la fonction, et ce en tout point. En effet, les physiciens (les premiers utilisateurs) étudient la série de Fourier à la place de la fonction, et donc, si la série de Fourier converge vers autre chose que la fonction en un point, cela peut avoir des conséquences catastrophiques. Le cadre idéal pour l’étude est un espace de Hilbert. Dans ce cadre, nous avons l’assurance de deux choses : d’une part, la série de Fourier converge (ce qui est loin d’être le cas de toutes les séries), et d’autre part il y a égalité en norme de la série de Fourier avec la fonction (égalité de Parseval). Ce sont des résultats très forts mais qui n’assurent pas la convergence de la série de Fourier vers la fonction en tout point. Il est alors nécessaire d’ajouter des conditions de régularité sur la fonction.

CONDITION DE REGULARITE ET NOTION DE TEMPS

Un défaut de la transformée de Fourier est qu’elle oublie la notion de temps. Ce n’est pas qu’il soit perdu lors de la décomposition, mais il se trouve que les variables de temps et de fréquence sont « canoniquement conjuguées ». Pour pallier ce manque, d’autres analyses ont été mises en place, des analyses temps-fréquences, notamment les ondelettes. L’analogie avec la notation musicale est souvent utilisée pour introduire l’idée de représentation temps-fréquences. Chaque note d’un morceau est en effet associée à une certaine localisation aussi bien temporelle (son instant d’occurrence et sa durée) que fréquentielle (sa hauteur). Un premier type d’analyse temps-fréquences a été pensé pour remédier à ce défaut, la transformée de Fourier à fenêtre glissante. Cependant, la taille fixée de la fenêtre entraînait de nouvelles limitations.L’idée de faire varier la taille de la fenêtre en fonction de fréquence peut supprimer ce problème ; c’est ce que fait théorie des ondelettes.

EN RÉSUMÉ

L’analyse de Fourier étudie la décomposition de signaux sous forme d’une superposition de fréquences individuelles. Si le signal est périodique, on utilise pour la décomposition les séries de Fourier, et la transformée de Fourier s’il ne l’est pas. Afin de s’assurer de la convergence de la série de Fourier vers sa fonction, il est nécessaire de trouver le bon cadre d’étude. Enfin, pour prendre en compte le temps dans l’analyse, il faut passer en temps-fréquences, comme dans la théorie des ondelettes.