Le nombre d’or

Construit théoriquement par Euclide dans ses Eléments, le nombre d’or apparaissait déjà dans des constructions de monuments en 10000 avant J.-C. Utilisé aujourd’hui- dans de nombreuses branches des mathématiques, il a acquis le statut de nombre incontournable, à l’instar du nombre n.

ORIGINE

Si on considère aujourd’hui que c’est le mathématicien grec Euclide qui, vers – 300, donna la première valeur exacte du nombre d’or, on en trouve des traces bien avant cette date. Ainsi, la plus ancienne trace de ce nombre remonte à 10000 avant J.-C. dans le temple d’Andros découvert sous la mer des Bahamas. On le retrouve ensuite en Égypte, où le rapport de la hauteur de pyramide de Khéops (construite vers – 2 800), mesurée par Thalès de Milet vers – 600, par sa demi- base est égal au nombre d’or. Il apparaît, en tant que rapport de dimension utilisant la racine carrée de 5, dans le travail de décoration du Parthénon à Athènes effectué par le sculpteur grec Phidias au ve siècle avant J.-C. C’est d’ailleurs en l’honneur de ce sculpteur que le nombre d’or sera noté <|), phi en grec. Mais ce n’est qu’à partir du xixe siècle que ce nombre sera auréolé d’une valeur mystique, à la suite des travaux d’un professeur de philosophie qui montrera son étrange omniprésence dans les monuments classiques.

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

C’est donc à Euclide que revient l’honneur de donner la première valeur exacte du nombre d’or. Dans le livre VI de ses Éléments, il évoque le partage d’un segment en « extrême et moyenne raison ». Il considère un segment de longueur x et le partage en deux segments, l’un de longueur y et l’autre de longueur x- y. Il montrera alors que le segment initial est partagé suivant la section d’or (ou la proportion d’or) si les rapports x/y ety/(x-y) sont égaux et donc si le rapport x/y va ut <|). Un petit calcul permet de montrer alors que le nombre d’or est solution d’une équation du second degré, l’équation x2 – x – 1 =0. Une telle équation possède toujours deux solutions, et sa solution positive, le nombre d’or, vaut exactement (1+75/2). Ce nombre est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’écrire comme une fraction de deux nombres entiers. Les premières décimales du nombre d’or sont 1,618 033 988 749 894 848. Le record de décimales date de 1998 et exhibe pas moins de 10000000 décimales!

SUITE DE FIBONACCI ET NOMBRE D’OR

Un exemple intéressant d’apparition un peu i nombre d’or est dans sa relation avec la suite de Fibonacci. Léonard de Pise dit Fibonacci, en 1202, pose un petit problème quant à la prolifération des lapins : « Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence? » La réponse qu’il donne est connue aujourd’hui sous le nom de suite de Fibonacci, noté (FJ. Les deux premiers termes de cette suite valent 1, et le n-ième terme est obtenu en additionnant les deux termes précédents. Les premiers termes de cette suite sont donc 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55. On s’intéresse alors au quotient de deux nombres de Fibonacci successifs, c’est-à-dire Fn+;/Fn. On peut alors montrer que ces quotients se rapprochent de plus en plus du nombre d’or. On dit que cette suite de rapports converge vers le nombre d’or.

RECTANGLE, TRIANGLE ET SPIRALE D’OR

À partir de la notion de proportion d’or, il est possible de construire un certain nombre de figures géométriques qui seront alors affublées de la caractéristique d’être « d’or ». Ainsi, un rectangle d’or est un rectangle dont le format est égal au nombre d’or, le format d’un rectangle étant le rapport de sa longueur sur sa largeur. On notera que la façade du Parthénon à Athènes est un rectangle d’or. On peut, de la même manière, construire un triangle d’or. Un tel triangle doit être isocèle et tel que le rapport des longueurs soit égal au nombre d’or. On peut également montrer comment les pentagones réguliers sont intimement liés au nombre d’or. Enfin, une spirale d’or est construite à partir d’un rectangle d’or. On construit alors un grand carré dont le côté vaut la largeur du rectangle. On réitère ensuite l’opération dans le rectangle restant, qui est encore un rectangle d’or. Et ainsi de suite. Puis, on construit des quarts de cercle dans les carrés et on obtient ainsi une spirale d’or.

QUELQUES PROPRIÉTÉS

Le nombre d’or possède des propriétés surprenantes, outre la proportion qui rend les formes géométriques d’or. On peut, par exemple, montrer qu’il existe une formule mathématique reliant le nombre n et le nombre d’or, n s’exprimant comme une somme infinie de puissance de (|). Mais le nombre d’or est en lui-même étonnant. On obtient son carré en lui ajoutant 1 et son inverse en lui soustrayant 1. Encore plus intéressant, les puissances successives de (|) s’obtiennent en utilisant <|>, le nombre 1 et… les nombres de Fibonacci. Ainsi, <|)3 = 2(j) + 1 ou encore c|)7 = 13 (|) + 8. On retrouve ici la construction de la suite de Fibonacci : pour obtenir une puissance du nombre d’or, il suffit d’additionner les deux puissances précédentes. Cette propriété, qui peut sembler étonnante au premier abord, provient en fait d’une formule qui permet d’exprimer les nombres de Fibonacci en fonction des puissances de 0, la formule de Binet. Cette formule ouvrira la voie à une véritable arithmétique du nombre d’or.

EN RÉSUMÉ

Le nombre d’or apparaît très tôt dans l’histoire. La première trace que l’on trouve remonte à 10000 avant J.-C. Mais c’est au mathématicien Euclide que l’on doit, vers 300 avant J.-C., la première construction théorique du nombre d’or, comme partage d’un segment en « extrême et moyenne raison ». À partir du calcul effectif du nombre d’or, il est possible de construire des rectangles d’or ou des spirales d’or. Mais ce sont ses relations étroites avec la suite de Fibonacci qui permettront de développer une véritable arithmétique d’or.